Définition :
Soient \(D\) une droite, \(M\) un point et \(D'\) l'unique droite perpendiculaire à \(D\) passant par \(M\)
On note $${{P_D(M)}}:={{D\cap D'}}$$
Et on appelle projection orthogonale sur \(D\) cette application
(Droite perpendiculaire, Intersection)
Soit \(E\) un espace de Hilbert et \(H\) un sous-espace vectoriel fermé de \(E\)
Pour tout élément \(g\in E\), il existe un élément noté \(\hat g\in H\) tel que \(g-\hat g\) soit orthogonal à \(H\)
\(\hat g\) s'appelle la projection orthogonale de \(g\) sur \(H\)
Formule
Soient \(\vec u\) et \(\vec v\) deux vecteurs du plan ou de l'espace
Le projeté orthogonal de \(\vec v\) sur \(\vec u\) est le vecteur... $${{\operatorname{pr}_{\vec u}(\vec v)}}={{\frac{\vec u\cdot\vec v}{\lVert\vec u\rVert^2}\vec u}}$$
(Produit scalaire, Norme)
Dans un espace de Hilbert, le projeté orthogonal de \(f\) sur \(g\) est donné par : $$\frac{\langle{f,g}\rangle }{\langle{g,g}\rangle }g$$
Propriétés
Proposition :
Soient \(D_{A,\vec u}\) une droite et \(\vec v\) l'un de ses vecteurs normaux
Alors $$P_D({{A+\lambda\vec u+\mu\vec v}})={{A+\lambda\vec u}}$$
Cas du point fixe
Proposition :
$$P_D(M)={{M}}\iff {{M\in D}}$$
Affine idempotente
Proposition :
Les projections orthogonales sont des applications affines idempotentes, i.e. $$P_D\circ P_D= P_D$$
Projection orthogonales sur des droites perpendiculaires sécantes
Proposition :
Si \(D_1\) et \(D_2\) sont deux droites perpendiculaires sécantes en \(O\), alors $$P_{D_1}\circ P_{D_2}={{O=P_{D_2}\circ P_{D_1} }}$$ où \(O\) désigne aussi l'application constante
Proposition (réciproque) :
\(P_{D_1}\) et \(P_{D_2}\) commutent si et seulement si \(D_1\perp D_2\) ou \(D_1=D_2\)
(Droite perpendiculaire, //Matrices commutatives)